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什么是理想的數學教育

2014-07-13 . 閱讀: 6,194 views

文/木遙

十年前我在北京上大學的時候,學的專業是應用數學,因為自己既是參加過全國奧數競賽的過來人,也因為競賽成績得以保送北大,于是課余時間就開了個補習班,給中小學生上奧數課來掙點零花錢。

每次上課,六七個孩子坐在前面聽講,他們的家長就坐在后排記筆記。有一年放假前夕,班上成績最好的那個孩子的家長在下課之后把孩子遣走,然后偷偷拉住我,和我寒暄了半天后,略有一點忸怩地問我:“老師,你看,我們家孩子學數學……能學出來么?”

這個場景我一直記憶猶新,有時候想起來甚至有一點辛酸。那對家長比我年長許多,卻在我面前執禮甚恭,實在是天下父母心的一個生動寫照。當然,同樣記憶猶新的還有我當時的困窘:我幾乎不知道該怎么措辭才能婉轉地向家長說明,除了有助于作為升學的敲門磚之外,孩子在我的課上所學的所有東西都對他的未來沒什么影響。這一切其實本來都毫無意義。

今年8月,紐約城市大學皇后學院的政治學教授安德魯·海克(Andrew Hacker)在《紐約時報》上發表了一篇文章《學習代數有必要嗎》(Is Algebra Necessary?),他的主要觀點是:作為基礎教育的數學課過于艱深,遠遠超出大多數普通學生的需要以及能力范圍,既給孩子帶來額外的負擔和痛苦,也和現實就業市場的要求相脫節。作為結論,他呼吁停止數學教育的“一刀切”模式。

他可能不會想到這篇文章在大洋彼岸的中國也引起了不小的反響,這恐怕是因為美國的青少年所面臨的數學教育的難度和強度,和中國的同齡人相比只是小巫見大巫而已。從義務制教育大綱到形形色色的奧數培訓(無論它冠以“數學提高班”、“數學興趣小組”、“數學思維培訓”還是其它什么掩耳盜鈴的名目),中國的孩子們面對的挑戰和壓力舉世罕有其匹。“雞兔同籠”,“兩列火車相向而行”,“一個龍頭進水一個龍頭出水”,這些在中國數學課堂里的必修內容對美國的學生們來說大概是天方夜譚吧。

看看《紐約時報》網站上這篇文章的評論可以發現,很多評論認為海克的文章本身有頗多值得指摘之處。他的基本論調之一是在大多數社會科學領域中用不到多么高深的數學,這在事實上是站不住腳的。現代數學對社會方方面面的滲透早已超越一般大眾的認知,遠不局限于信息產業和航天科技等等顯然和數學掛鉤的領域。美國政治學巨擘、哈佛大學教授、美國政治學會前主席塞繆爾·亨廷頓(Samuel Huntington)曾經因為在著作中使用了似是而非的數學工具被耶魯大學的數學家塞爾日·朗格(Serge Lange)挑出邏輯錯誤,并且因為這個原因,雖然獲得了美國科學院院士提名,但最終至死未能當入院士。數學早已不再是象牙塔里的學問了。

但是海克的基本思想并不因此而全盤失去價值。正如他指出的那樣,無論數學有多少重要應用,大多數人還是在離開校園之后就立刻把自己學過的數學課拋諸腦后,因為那些煩冗的計算技巧、復雜的公式和瑣碎的知識點與自己的職業和生活實在沒什么關系。我自己在派對中同陌生人打開話題的一項慣用伎倆就是裝作不經意間提到自己的數學專業,然后十有八九,對方會向我投來艷羨或者驚恐的目光,隨后進行數學曾經如何在自己生活中扮演了夢魘般的角色的冗長控訴。

在中國這個問題特別尖銳,因為中國的學生要把大量的精力和時間(乃至金錢)投注在難度要高得多的層層數學考試和選拔上。數學一貫被認為是“智力的體操”,體現了“邏輯之美”,但是讓我們誠實地問問自己,通過學校里的數學教育享受到這種美的訓練的普通人,占到全體公眾的比例有多大呢?

公允地說,在這個系統中有一小部分學生確實因此而得益。有時人們會追問中國那些在國際奧林匹克數學競賽中獲獎的金牌們的去向,他們之中確實涌現出了不少一流的年輕數學家。只不過大多資歷尚淺,還未曾進入公眾的視野罷了。但是對其余的絕大多數人來說,殘酷的事實是他們為此犧牲了童年的運動和游戲時間,卻只是在“陪太子讀書”而已。

因為牽涉到巨大的產業利益鏈條和盤根錯節的體制弊病,數學教育(無論是基礎課程補習還是奧數提高課程)一直是個敏感的話題。海克在他的文章中抱怨到:“數學水平(在美國)被當成了一個徽章、一個用來給局外人留下深刻印象并提升職業地位的圖騰。”在中國,它的意義還要更現實一些。幾乎所有家長談起孩子的數學教育都會怨聲載道,但是這一點也不妨礙他們爭先恐后地花大錢給孩子報名上各種輔導班,并且團結起來抵制教育部門對此的干預。在這種情況下,還要追問“該學什么”幾乎顯得有些奢侈了。

但是數學教育是個重要的問題。在這個科學技術發展日新月異的時代,它甚至是個急迫的問題。不幸的是,它也是最難被心平氣和討論的問題。

數學教育改革牽一發而動全身。其中一個明證是在2004年全國開始推行《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》,也就是所謂的“數學新課標”。在2005年兩會上,北京大學數學科學學院的姜伯駒院士提出提案,對其進行抨擊,認為“數學新課標”取消了原本初中課程設置的《平面幾何》,代之以“貼近學生熟悉的現實生活,使生活和數學融為一體”,這降低了大綱水準,“方向錯誤”,引起軒然大波。

在我看來,一個理想中的公眾數學教育應當竭力回答這樣的問題:在一個一切社會信息都以量化方式表述和處理,一切職業都需要敏銳的判斷力和定量洞察力,一切公眾話題(無論是金融還是醫療,食品安全還是氣候變化)都必須在扎實的數據分析的基礎上才能夠得以有效討論的世界上,一個平均水平的孩子應當為此做好怎樣的智識上的準備和訓練?怎樣才能讓他以一位普通公民的身份走入社會之后,不把自己在校園中接受的數學教育當成某種痛苦的回憶急切地丟在腦海深處,而是充滿信心地繼續成人學習,以適應這個飛速變化的數字時代?

毫無疑問,現狀與此幾乎南轅北轍。

說實話,當我十年前站在講臺上給那些孩子講授“如何判斷一個數是不是 9 的倍數”或者“100的階乘末尾有幾個零”的時候,我并沒有想到這么多。我只能盡力讓課堂氣氛輕松有趣一點,讓他們在應付小學和初中考試的過程中度過不太難過的一段時光。但是每次我看到他們坐在臺下凝視著黑板的困惑目光時,我還是常常陷入短暫的茫然。等他們長大后,會怎樣回憶起這些本來應該在運動場上奔跑的周末的下午,以及我口干舌燥地講解的這些無窮無盡的數學題呢?

也許他們早已忘得一干二凈了。

原文地址http://songshuhui.net/archives/73281

數學教育

后記:

我常常碰到有人認真地問:「數學到底有什么用處?」這問題其實一點都不難回答,我可以隨口舉出無數個例子來說明為什么社會的每個角落都須臾不可缺少最現代的數學工具,但是我明白為什么別人會問這個問題。因為對于他們來說,數學就是他們在大學里學過的這些習題。而這些習題對 99% 的大學生來說確實一點用都沒有,甚至連「鍛煉邏輯思維能力」這種最虛幻的用處也談不上。

如果是我來編寫大學數學教材,我會爭取讓每一個在大學里讀過數學課的人都能回答這樣的問題:為什么人們能精確預測幾十年后的日食,卻沒法精確預測明天的天氣;為什么人們可以通過 https 安全地瀏覽網頁而不會被監聽;為什么全球變暖的速度超過一個界限就變得不可逆了;為什么把文本文件壓縮成 zip 體積會減少很多,而 mp3 文件壓縮成 zip 大小卻幾乎不變;民生統計指標到底應該采用平均數還是中位數;當人們說兩種樂器聲音的音高相同而音色不同的時候到底是什么意思??這不是什么「趣味數學」,這就是數學。基礎、重要、深刻、美的數學。

在我的設想里,這才是大學基礎數學教育所應該達成的任務。不是培養一個非數學專業的現代人在數學領域的專業素質(這是無論如何也不可能成功的),而是讓一個人能夠在非專業的前提下最大程度地掌握真正有用的現代數學知識,了解數學家們的工作怎樣在各個層面上和社會產生互動,以及社會在這個領域的投資得到了怎樣的回報。別的科學門類的基礎教育也應當是這樣。

更重要的是,任何一個接受過大學科學教育的人,無論他的職業是什么,他都應當能夠明確理解下面這些事:為什么歷史上一次又一次有過處于少數地位的業余科學家在不被重視的情況下做出重大貢獻的事例,今天的科學界仍然在整體上排斥業余研究者的參與,并且反對社會資源被用來鼓勵業余研究;既然科學結論有可能并且也在事實上曾經反復被推翻,連牛頓力學都會被愛因斯坦相對論所取代而相對論也可以繼續被修正,當代科學家做出的科學斷言到底在什么意義上值得相信(或者是不是根本就不值得相信);科學問題是不是和政治問題一樣,并不存在所謂正確的答案,而每種立場其實都有其存在的意義和價值;當一個科學上的專業問題同時又具有政治上的巨大影響力的時候(比如全球變暖、干細胞研究或者轉基因作物推廣),不具有專業背景的公眾到底應該具有怎樣的發言權。讓每個現代人在大學教育中聽到科學家對這些問題的回答,應當是大學科學教育不可回避的任務。

毫無疑問,現狀并不是這樣。

我并沒有在中國大學里教數學基礎課的經歷,但是就我的了解而言,情況和美國差不多。我不止一次聽到別人向我描述高數課給他們帶來的痛苦,我能想象也能理解這種痛苦。這不是中國或者美國的問題,而是普遍存在于時代的問題。

在科學的威力史無前例地席卷全社會的今天,科學和社會的關系也史無前例地疏遠。這實在是太危險了。

左岸

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